Uncertainty principle in QC

Können wir bit und sign eines Qubits gleichzeitig kennen?

Einfache Sprache

Wenn man bit mit Sicherheit messen möchte muss sich das Qubit entweder in $\ket 1$ oder $\ket 0$ befinden. Sonst gibt es Unsicherheit, da beim Messen Wahrscheinlichkeit in Spiel kommt. Ähnlich verhält es sich beim messe des sign. Um dies mit Sicherheit messen zu können muss sich das Qubit entweder in $\ket +$ oder $\ket -$ befinden. Durch die graphische Darstellung wird klar, das Beides mit Sicherheit messen zu können sich ausschließt.

Bsp.

In dem Bild unten sieht man das blaue Qubit in einer Superposition. Nähert man diese Qubit $\ket 0$ an, muss es sich zwangsläufig von $\ket +$ entfernen.

Def. Spread

Gegen ein Quantum state $\ket\varphi$. Dieser kann in die standard Basisvektoren $\ket1$ und $\ket0$ aufgeschlüsselt werden, also $\ket\varphi = \alpha_0\ket0+\alpha_1\ket1$. Man kann aber auch Alternativ $\ket+$ und $\ket-$ als Basisvektoren nehmen. Dann erhält $\ket\varphi = \beta_0\ket++\beta_1\ket-$.

Spread für die standard Basisvektoren

Spread für die sign Basisvektoren

Der Spread $S$ bzw. $\hat S$ ist als die geringste Entfernung von einem eindeutigen Zustand (Bspw. bei den standard Basisvektoren $\ket0$ und $\ket1$). Sie kann zwischen $1$ und $\sqrt{2}$ variieren.

Bsp. Spread

$S(\ket0)=1+0=1$ $S(\ket+)=\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{2}}= \sqrt{2}$

$\hat S(\ket0)=\frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{2}}= \sqrt{2}$ $\hat S(\ket+)=1+0=1$

Uncertainty principle for bit and sign

Für alle $\ket\varphi$ gilt

Grob zusammengefasst bedeutet es das es kann nicht sowohl $S$ als auch $\hat S$ gleichzeitig $1$ sein. Daraus folgt das es ein Abwägung zwischen zwei sich gegenseitig ausschließenden Zielen gibt.

Bezug zu Quantenphysik

Äquivalent Heisenbergsche Unschärferelation wo die Position und Geschwindigkeit mit Sicherheit zu messen unmöglich ist. In der Analogie ist bit == Position und sign == Geschwindigkeit.