Duale Zahl
Einfache Sprache
Alle Duale Zahlen werden durch zwei Basiselemente, $1$ und $\varepsilon$, erzeugt.
Def. Duale Zahl
Sei $a,b\in\mathbb R$ und $\varepsilon^2 = 0$. Dann ist die duale Zahl $z$ definiert durch
$$z = a + b\varepsilon\;.$$$a$ heißt Realteil und $b\varepsilon$ heißt Imaginärteil
Rechenregeln
Addition
Def. Addition von Dualen Zahlen
Sei $z,w$ duale Zahlen mit $z = a + b\varepsilon$ und $w = c + d\varepsilon$. Dann ist deren Summe $v$ definiert als
$$v = z + w = (a + b\varepsilon) + (c + d\varepsilon) = (a+c) + (b+d)\varepsilon\;.$$
Multiplikation
Def. Multiplikation von Dualen Zahlen
Sei $z,w$ duale Zahlen mit $z = a + b\varepsilon$ und $w = c + d\varepsilon$. Dann ist deren Produkt $v$ definiert als
$$\begin{align}v &= z w&\Huge|\normalsize\text{Def. $v$}\\ &= (a + b\varepsilon) (c + d\varepsilon)&\Huge|\normalsize\text{Def. $z,w$}\\ &= ac + ad\varepsilon + bc\varepsilon + db\varepsilon^2&\Huge|\normalsize\text{Ausklammern}\\ &= ac + ad\varepsilon + bc\varepsilon&\Huge|\normalsize\text{Eig. $\varepsilon^2=0$}\\&= ac + (ad + bc)\varepsilon&\Huge|\normalsize\text{Faktorisieren}\end{align}$$
Division
Def. Division von Dualen Zahlen
Sei $z,w$ duale Zahlen mit $z = a + b\varepsilon$ und $w = c + d\varepsilon$. Dann ist deren Quotient $v$, mit Hilfe des Duale Konjugation definiert als
$$\begin{align}v &= \frac{z}{w}&\Huge|\normalsize\text{Def. $v$}\\ &= \frac{z\bar w}{w\bar w}&\Huge|\normalsize\text{Erweitern um die duale Konjugation}\\ &= \frac{(a + b\varepsilon)(c - d\varepsilon)} {(c + d\varepsilon)(c - d\varepsilon)}&\Huge|\normalsize\text{Def. $z,w$ bzw. duale Konjugation}\\ &= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon -bd\varepsilon^2}{c^2 + cd\varepsilon - cd\varepsilon -d^2\varepsilon^2}&\Huge|\normalsize\text{Ausklammern}\\ &= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon}{c^2 + cd\varepsilon - cd\varepsilon }&\Huge|\normalsize\text{Eig. $\varepsilon^2=0$}\\&= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon}{c^2}&\Huge|\normalsize\text{Vereinfachen}\\&= \frac{ac + (bc - ad)\varepsilon}{c^2}&\Huge|\normalsize\text{Faktorisieren}\\&= \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c^2}\varepsilon&\Huge|\normalsize\text{Bruchrechnung}\end{align}$$