Determinante

Einfache Sprache

Gegeben eine quadratischen Matrix $\mathfrak A$. Dann ist die Determinante $\text{det}(\mathfrak A)$ (bzw. $|\mathfrak A|$) ein Skalar, der angibt, wie sich das Volumen durch die die von der Matrix beschriebenen Lineare Abbildung ändert

Eigenschaften

Sei $\mathfrak A$ eine Matrix, dann gelten folgende Eigenschaften:

• Matrixmultiplikation $$\text{det}(\mathfrak A\cdot\mathfrak B) = \text{det}(\mathfrak A)\cdot\text{det}(\mathfrak B)$$
• Transponierung (Transponierte Matrix)$$\text{det}(\mathfrak A^T) = \text{det}(\mathfrak A)$$
• Zeilen-Operationen
  • Sei $\mathfrak B$ das Ergebnis, wenn zwei Zeilen in $\mathfrak A$ vertauscht werden. Dann gilt $$\text{det}(\mathfrak B)= -\text{det}(\mathfrak A)\;.$$
  • Sei $\mathfrak B$ das Ergebnis, wenn eine Zeilen in $\mathfrak A$ mit $c$ skalarmultipliziert wird. Dann gilt $$\text{det}(\mathfrak B)= c\cdot\text{det}(\mathfrak A)\;.$$
  • Sei $\mathfrak B$ das Ergebnis, wenn in $\mathfrak A$ ein Vielfaches einer Zeilen auf eine andere Zeile addiert wird. Dann gilt $$\text{det}(\mathfrak B)= \text{det}(\mathfrak A)\;.$$

Berrechnung

• Determinante einer Dreiecksmatrix

2x2 Matrix

Fur eine Matrix $\mathfrak A\in\mathbb R^{2\times 2}$ ergibt sich die Determinante folgendermaßen:

3x3 Matrix

Fur eine Matrix $\mathfrak A\in\mathbb R^{3\times 3}$ ergibt sich die Determinante folgendermaßen: