Eigenwert und Eigenvektor

Eigenvektor

Einfache Sprache

Siehe Motivation Eigenwerte und Eigenvektoren

Def. Eigenvektor, Eigenwert

Sei $\mathfrak A\in K^{n\times n}$ eine quadratische Matrix. Dann heißt ein von 0 verschiedener Vektor $\mathfrak v\in K^n$ Eigenvektor von $\mathfrak A$, wenn es ein $\lambda\in K$ gibt mit

$$\mathfrak{Av}=\lambda\mathfrak v\;.$$

Der Skalar $\lambda$ heißt dann Eigenwert von $\mathfrak A$. Hinweis: $K$ ist oft die Reellen Zahlen $\mathbb R$ oder die Komplexe Zahl $\mathbb C$.

Beispiel

Der Vektor $\mathfrak v =\left( \begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array} \right)\in\mathbb R^2$ ist ein Eigenvektor von $\mathfrak A= \left( \begin{array}{cc} 3&0 \\ 8&-1 \end{array} \right)$, denn

$$\mathfrak{Av}=\left( \begin{array}{cc} 3&0 \\ 8&-1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 3\\ 6 \end{array} \right) = 3\mathfrak v\;.$$

Der zugehörige Eigenwert $\lambda$ ist $3$.

Bestimmung von Eigenwerten

Um die Eigenwerte zu bestimmen muss zuerst die Determinante von $\mathfrak A - \lambda \mathfrak I$ genommen werden ($\mathfrak I$ ist die Identitätsmatrix). Das Ergebnis ist das Charakteristisches Polynom von $\mathfrak A$ und sollte ein Polynom $n$-ten Grades in $\lambda$ sein. Die Nullstellen des Charakteristisches Polynom sind die gesuchten Eigenwerte.

Ggf. kann folgender Satz helfen:

• Satz Eigenwerte von Dreiecksmatrizen

Beispiel Eigenwerten

Für $\mathfrak A= \left( \begin{array}{cc} 2&1 \\ 6&1 \end{array} \right)\in \mathbb R^{2\times2}$ ergibt sich das Charakteristisches Polynom wie folgt

$$\begin{align}0 &= \text{det}(\mathfrak A-\lambda\mathfrak I) &\Huge|\normalsize\text{Def. Eigenwert}\\&= \left|\begin{array}{cc} 2-\lambda&1 \\ 6&1-\lambda \end{array} \right|&\Huge|\normalsize\text{Def. Matrixoperation}\\&= (2-\lambda)(1-\lambda) - 6&\Huge|\normalsize\text{Def. Determinate}\\&= \lambda^2-3\lambda-4&\Huge|\normalsize\text{Def. Ausklammern}\\\end{align}$$

Dann können wir mit der Mitternachtsformel die Eigenwerte bestimmen

$$\begin{align}\lambda_{1,2}&=\frac{--3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot-4}}{2\cdot1} &\Huge|\normalsize\text{Def. Mitternachtsformel}\\&=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} &\Huge|\normalsize\text{Vereinfachen}\\&=\frac{3\pm5}{2} &\Huge|\normalsize\text{Vereinfachen}\\\end{align}$$

und erhalten $\lambda_1 = 4$ und $\lambda_2 = -1$.

Bestimmung von Eigenvektoren

Um die Eigenvektoren zu bestimmen wird angenommen das die Eigenwerte $\lambda$ von $\mathfrak A$ bereits bekannt sind (siehe dazu hier mehr). Die dazugehörigen Eigenvektoren sind die nichttriviale Lösungen von

Es muss also der Ausdruck in den Klammern für die verschiedenen Eigenwerte ausgewertet werden und dann kann man den Lösungsraum (Eigenraum) bestimmt werden.

Bemerke das Eigenvektoren nicht eindeutig bestimmbar sind, da wenn $\mathfrak v$ ein Eigenvektor ist auch jeder Vektor $a\mathfrak v$, mit $a\in K$, ein Eigenvektor ist.

Beispiel Eigenvektoren

Bestimme die Basen der Eigenräume von $\mathfrak A= \left( \begin{array}{ccc} 0&0&-2 \\ 1&2&1 \\ 1&0&3 \end{array} \right)\in \mathbb R^{3\times3}$ Die Eigenwerte von $\mathfrak A$ sind $\lambda_1=2$ und $\lambda_2 = 1$ (Siehe hier für Hilfe).

Für $\lambda_1=2$ ergibt sicher der Eigenraum aus

$$\begin{align}&0 \\=& (\mathfrak A-\lambda_1\mathfrak I)\mathfrak v &\Huge|\normalsize\text{Def. Eigenwerte }\\=& \left(\left( \begin{array}{ccc} 0&0&-2 \\ 1&2&1 \\ 1&0&3 \end{array} \right)-2\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)\right)\mathfrak v &\Huge|\normalsize\text{Einsetzten}\\=& \left( \begin{array}{ccc} -2&0&-2 \\ 1&0&1 \\ 1&0&1 \end{array} \right)\mathfrak v &\Huge|\normalsize\text{Marixoperationen}\\=& \left( \begin{array}{ccc} -2&0&-2 \\ 1&0&1 \\ 1&0&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) &\Huge|\normalsize\text{Eigenvektor ausgeschrieben}\\\end{align}$$

Die Lösungsmenge für die Gleichungen ist

$$\left\{\left(\begin{array}{c} s\\ t\\ -s\end{array}\right)\middle| s,t\in\mathbb R\right\}\;.$$

Eine mögliche Basis für den Eigenraum ist z.B.

$$\left\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) \right\}\;.$$

Für $\lambda_2=1$ ergibt sicher der Eigenraum aus

$$\begin{align}&0 \\=& (\mathfrak A-\lambda_1\mathfrak I)\mathfrak v &\Huge|\normalsize\text{Def. Eigenwerte }\\=& \left(\left( \begin{array}{ccc} 0&0&-2 \\ 1&2&1 \\ 1&0&3 \end{array} \right)-1\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)\right)\mathfrak v &\Huge|\normalsize\text{Einsetzten}\\=& \left( \begin{array}{ccc} -1&0&-2 \\ 1&1&1 \\ 1&0&2 \end{array} \right)\mathfrak v &\Huge|\normalsize\text{Marixoperationen}\\=& \left( \begin{array}{ccc} -1&0&-2 \\ 1&1&1 \\ 1&0&2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) &\Huge|\normalsize\text{Eigenvektor ausgeschrieben}\\\end{align}$$

Die Lösungsmenge für die Gleichungen ist der eindimensional

$$\left\{\left(\begin{array}{c} -2s\\ s\\ s\end{array}\right)\middle| s\in\mathbb R\right\}\;.$$

Eine mögliche Basis für den Eigenraum wird z.B. durch den Basisvektor $\left(\begin{array}{c} -2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ aufgespannt.