Orthogonale transformation

Einfache Sprache

Eine orthogonale Transformation ist eine Abbildung zwischen zwei Räumen (Skalarproduktraum), die das Skalarprodukt erhält.

Def. Orthogonale transformation

Sei $T$ eine lineare Transformation. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $T$ ist orthogonal.

2. $\langle u|v\rangle = \langle T(u)|T(v)\rangle$ für alle $u,v\in\mathbb R^2$.

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren muss ist gleich wenn man auf die beiden Vektoren einzeln die orthogonale Transformation anwendet.

3. $||T(u)||=1$ für alle $u\in\mathbb R^2$ mit $||u||=1$.

Für alle Vektoren mit Norm 1 soll auch die orthogonale Transformation dieser wieder die Norm 1 haben. Das ist besonders wichtig für die Anwendung bei #quantumComputing, da die Qubits immer eine Norm 1 haben müssen. Diese Bedingung erhält eine orthogonale Transformation.

4. Die Transformation einer Orthonormalbasis is wieder eine Orthonormalbasis.

5. Es gilt: $TT^\textrm{T} = I$.

Wenn bsw. $T$ die Rotation um den Ursprung ist, dann wäre $T^\textrm{T}$ die Rotation in die entgegengesetzte Richtung. Dadurch macht man die erste Rotation rückgängig. Ein bisschen so wie bei der Funktion $f$ und deren Inverse $f^{-1}$ wo beim hintereinander schachteln die Identitätsfunktion raus kommt.

Complex orthogonale transformation

#TODO