Satz Eigenwerte von Dreiecksmatrizen
Einfache Sprache
Satz: Eigenwerte von Dreiecksmatrizen
Sei $\mathfrak A\in K^{n\times n}$ eine obere oder untere Dreiecksmatrix, dann sind die Eigenwerte durch die Diagonaleinträge gegeben.
Beweis: Wenn wir folgende Information verwenden Determinante einer Dreiecksmatrix ergibt sich aus $\text{det}(\mathfrak A-\lambda\mathfrak I)$ folgendes Produkt:
$$\prod_{i=1}^n(a_{ii}-\lambda)\;.$$Daraus ergibt sich die Eigenwerte als die Nullstellen also $\lambda_i=a_{ii}$ für alle $i\in[1,n]$.
Beispiel
Für $\mathfrak A = \left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 8 &-1\end{array}\right)$ sind die Eigenwerte $\lambda_1 = 3$ und $\lambda_2 = -1$.