Skalarprodukt

Einfache Sprache

Bei der Skalarprodukt werden zwei Vektoren miteinander multipliziert. Das Ergebnis ist ein Skalar. Das Skalarprodukt ist eine Spezialfall der Matrixmultiplikation.

Def. Skalarprodukt

Seien $\mathfrak x = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)$ und $\mathfrak y = \left( \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)$ Vektoren in $\mathbb R^n$. Dann ist das Skalarprodukt $\cdot$ definiert als

$$\mathfrak x \cdot \mathfrak y= \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)= x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n\;.$$

Rechenregeln

Seien $\mathfrak x,\mathfrak y, \mathfrak z\in \mathbb R^n$ Vektoren und $c\in\mathbb R$ eine Konstante. Dann gilt

1. $\mathfrak x \cdot \mathfrak y = \mathfrak y \cdot \mathfrak x$,
2. $(c\mathfrak x)\cdot\mathfrak y=c(\mathfrak x\cdot\mathfrak y)$,
3. $\mathfrak x\cdot(\mathfrak y+\mathfrak z) = \mathfrak x\cdot \mathfrak y + \mathfrak x\cdot \mathfrak z$

Winkel zwischen Vektoren

Seien $\mathfrak x = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)$ und $\mathfrak y = \left( \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)$ Vektoren in $\mathbb R^n$. Dann ist das der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren definiert durch

wobei $|\cdot|$ die Länge des Vektors ist.