Spektralzerlegung

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Die Spektralzerlegung beschreibt die Darstellung einer quadratischen Matrix in einer Kombination aus Eigenvektoren und Eigenwerten.

Def. Spektralzerlegung

Sei $\mathfrak A\in K^{n\times n}$ eine quadratische Matrix mit $n$ linear unabhängigen Eigenvektoren $\mathfrak x_i$ für $i\in[1,n]$. Dann existiert $\mathfrak{Q,L}\in K^{n\times n}$ so, dass

$$\mathfrak A = \mathfrak {QLQ}^{-1}\;.$$

Wobei $\mathfrak Q$ als die quadratische Matrix definiert ist, dessen $i$-te Spalte der $i$-te Eigenvektor $\mathfrak x_i$ ist. $\mathfrak L$ ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonale, also $\mathfrak L_{ii} = \lambda_i$.

Beispiel

Sei $\mathfrak A = \left( \begin{array}{cc} 0& 2 \\ 2&3 \end{array} \right)$ eine Matrix. $\mathfrak A$ hat die Eigenwerte $\lambda_1 = 4$ und $\lambda_2 = -1$ und die Eigenvektoren $\mathfrak x_1 = \frac{1}{\sqrt 5}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\mathfrak x_1 = \frac{1}{\sqrt 5}\left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$. Daraus ergibt sich folgende Spektralzerlegung:

$$\begin{align}\mathfrak A &= \mathfrak {QLQ}^{-1}&\Huge|\normalsize\text{Def. Spektralzerlegung}\\ \left( \begin{array}{cc} 0& 2 \\ 2&3 \end{array} \right) &= \frac{1}{\sqrt 5}\left( \begin{array}{cc} 1 & -2\\ 2& 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 4 & 0\\ 0& -1\end{array} \right)\frac{1}{\sqrt 5}\left( \begin{array}{cc} 1 & -2\\ 2& 1 \end{array} \right)^{-1}&\Huge|\normalsize\text{Def.$\mathfrak{A,Q,L}$}\\\end{align}$$