Taylor-Formel

Einfache Sprache

Durch die Verwendung der Taylor-Formel kann man einen Funktion in der Umgebung eines Punktes durch ein Polynom, dem Taylorpolynom approximieren. Abhängig vom Grad der Approximation ist

Def. Allgemeine Taylor-Formel

Sei $f$ eine differenzierbare Funktion, die an der Stelle $a$ approximiert werden soll durch ein Taylorpolynom mit Grad $n$. Dann ist die Taylor-Näherung folgender maßen definiert

$$T_nf(x;a)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Def. Taylor-Formel ersten Grades

Sei $f$ eine differenzierbare Funktion, die an der Stelle $a$ approximiert werden soll durch ein Taylorpolynom mit Grad $1$, also einer Tangente an der Stelle $a$. Die Formel für die Tangente ergibt sich durch

$$T_1f(x;a)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!}(x-a)$$