Äquivalenz aussagenlogischer Formeln

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Def. Äquivalenz aussagenlogischer Formeln

Seien $\varphi,\psi\in\mathbf F_{AL}$ Aussagenlogischen Formeln , dann heißt $\varphi$ äquivalent zu $\psi$, geschrieben $\varphi \models=| \psi$, falls $\textlbrackdbl\varphi\textrbrackdbl_\beta = \textlbrackdbl\psi\textrbrackdbl_\beta$ für alle Passende Variablenbelegung $\beta$ von $\varphi$ und $\psi$ gilt.

Bemerke das die hier definierte Äquivalenz eine Äquivalenzrelation, denn sie ist, für alle $\varphi,\psi,\xi\in\mathbf F_{AL}$,

1. refelxiv: $\varphi\models =|\varphi$,
2. symmetrisch: Aus $\varphi \models=| \psi$ folgt $\psi \models=| \varphi$ und
3. transitiv: Aus $\varphi \models=| \psi$ und $\psi \models=| \xi$ folgt $\varphi \models=| \xi$.