Idempotenz

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Def. Idempotenz

Sei $\varphi, \psi\in\mathbf F_{AL}$. Dann gilt:

$$\varphi\land\varphi \models=|\varphi$$

Beweis: Zu zeigen ist, dass es für alle zu einer gegebenen Formel $\varphi$ Passende Variablenbelegung $\beta$ gilt, dass $\textlbrackdbl\varphi\land\varphi\textrbrackdbl_\beta = \textlbrackdbl\varphi\textrbrackdbl_\beta$.

Sei $\varphi\in\mathbf F_{AL}$ eine Aussagenlogischen Formel und $\beta$ eine passende Variablenbelegung für $\varphi$. Nach der Semantik aussagenlogischer Formeln gilt $\textlbrackdbl\varphi\land\varphi\textrbrackdbl_\beta =f_\land(\textlbrackdbl\varphi\textrbrackdbl_\beta, \textlbrackdbl\varphi\textrbrackdbl_\beta)$. Aus der Definition von $f_\land$ wissen wir das $f_\land(x,x) = f$ ist für alle $x\in\{0,1\}$. Daraus folgt $f_\land(\textlbrackdbl\varphi\textrbrackdbl_\beta, \textlbrackdbl\varphi\textrbrackdbl_\beta) = \textlbrackdbl\varphi\textrbrackdbl_\beta$.