Prädikatenlogische Folgerungsbeziehung

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Def. Prädikatenlogische Folgerungsbeziehung

Sei $\mathcal S$ ein Signatur, $\Phi$ ein Menge von $\mathcal S$-Formeln und $\varphi$ ein $\mathcal S$-Formel. Es folgt $\varphi$ aus $\Phi$, geschrieben $\Phi\models\varphi$, falls für jede $\mathcal S$-Struktur $\mathcal A$ und A-Belegung $\beta$ gilt

$$\mathcal A,\beta\models\Phi\implies\mathcal A,\beta\models\varphi\;.$$

Die Menge aller folgenden Formeln $\Phi^\models$ für eine Menge Prädikatenlogischer Formeln $\Phi$ ist definiert durch

$$\Phi^\models = \{\phi\mid \Phi\models\phi\}\;.$$

Bemerke: Die Klammern der Menge können ggf. auch wegelassen werden. Auch kann $\emptyset$ weggelassen werden.