Satz kleiner gleich ist partielle Ordnung auf N
Einfache Sprache
Satz kleiner gleich ist partielle Ordnung auf N
Die Ordnung auf N $\leq$ ist eine Partielle Ordnung auf $\mathbb N$.
Beweis: Wir nutzen folgende Eigenschaften der Addition auf $\mathbb N$:
- Assoziativität der Addition,
- Kommutativität der Addition und
- Kürzungsregel der Addition. Nach der Definition der Partielle Ordnung müssen wir die drei Eigenschaften zeigen Reflexivität: Sei $n\in\mathbb N$. TODO verstehen $$\begin{align}n &= n + 0 &\Huge|\normalsize\text{Def}\\&= n + 0 &\Huge|\normalsize\text{Def}\\\end{align}$$ Antisymmetrie: Seien $n,m\in\mathbb N$ mit $n\leq m$ und $m\leq n$. Dann existieren nach der Definition der Ordnung auf N zwei Zahlen $k_1,k_2\in\mathbb N$ mit $n+k_1 = m$ und $m + k_2 = n$. Daraus folgt $(n+k_1)+k_2 = n$. Mithilfe der Assoziativität der Addition und der Kommutativität der Addition $(k_1+k_2) + n= n$
Jetzt müssen wir noch zeigen das dies $k_1 = 0$ und $k_2 = 0$ impliziert. $\left[\mathrm{Z\kern-.5em\raise-0.6ex\hbox{Z}}\; k_1 = 0\right]$ Angenommen $k_1\not= 0$. Dann exisitiert nach dem Lemma Existenz und Eindeutigkeit des Vorgängers eine natürliche Zahle $k_1'$ mit $k_1 = \mathfrak s(k_1')$. Daraus folgt
$$\begin{align}k_1+k_2 &= \mathfrak s(k_1') +k_2 &\Huge|\normalsize\text{Ex. Vorgänger}\\&= \mathfrak s(k_1'+k_2) &\Huge|\normalsize\text{Def. Add. }\mathbb N\\\end{align}$$Wir sehen also das $k_1+k_2$ ein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist und damit wegen dem dritten Peano-Axiome (P3) von $0$ verschieden sein muss. Das steht zu $(k_1+k_2) = 0$ im Widerspruch. Daher muss $k_1 = 0$.
Transitivität: Seien $n,m,p\in\mathbb N$ mit $n\leq m$ und $m\leq p$. Dann existieren nach der Definition der Ordnung auf N zwei Zahlen $k_1,k_2\in\mathbb N$ so, dass $n+k_1 = m$ und $m + k_2 = p$. Durch einsetzen von $m$ erhält man $(n+k_1)+k_2 = p$. Durch die Assoziativität der Addition folgt $n+(k_1+k_2) = p$. Definiere $k_3 := k_1+k_2$ erhält man $n+k_3= p$. Nach der Definition der Ordnung auf N folgt $n\leq p$.