Zenons Paradoxien
Einfache Sprache
Von Zenon von Elea
Zenons Paradoxien der Bewegung
Dichotomy paradox
Problemstellung
Ziel ist von Punkt $A$ nach Punkt $B$ laufen. Dazu muss von dem Reststück immer noch die Hälfte des Weges laufen.
$A$+————|——|—|-|-+$B$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{7}{8}$…
Um $B$ zu erreichen muss eine $\omega$-Sequenz (Ordinalzahlen) an Aufgaben gemacht werden:
| Aufgabe | Aufgabenbeschreibung |
|---|---|
| 1. | Erreiche die Hälfte der Strecke |
| 2. | Erreiche das $\frac{3}{4}$ der Strecke |
| 3. | Erreiche das $\frac{7}{8}$ der Strecke |
| 4. | … |
Niemand kann unendlich viele Aufgaben in endlicher Zeit erledigen. Also ist es unmöglich von $A$ nach $B$ zu kommen. => Generalisiert: Bewegung ist unmöglich.
Lösung
Es ist möglich unendlich viele Aufgaben in endlicher Zeit zu erledigen, solang die Zeit für das Erledigen der Aufgaben nur schnell genug abnimmt.
Z.B.: Wenn man annimmt das man mit einer Geschwindigkeit von $1\;m/s$ einen Distanz von $1\;m$ laufen soll, dann ergibt sich follgende Tabelle
| Aufgabe | Aufgabenbeschreibung | benötigte Zeit |
|---|---|---|
| 1. | Erreiche die Hälfte der Strecke | $\frac{1}{2}\,s$ |
| 2. | Erreiche das $\frac{3}{4}$ der Strecke | $\frac{1}{4}\,s$ |
| 3. | Erreiche das $\frac{7}{8}$ der Strecke | $\frac{1}{8}\,s$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $n$ | Erreiche das $\frac{2^n-1}{2^n}$ der Strecke | $\frac{1}{2^n}\,s$ |
Mit hilfe des Grenzwert der Folge
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots=\underset{n\to\infty}\lim(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^n})=1$$sieht man dass das Ziel $B$ in $1\,s$ erreicht wird.