Einheitswurzel Prozess

Einfache Sprache

Ein Einheitswurzel Prozess ist ein anderer Name für einen Integrierter Prozess der Ordnung 1, also I(1).

Def. Einheitswurzel Prozess I(1)

Folgend der Definition des I(0) ergibt sich für I(1) folgende Definition

$$\Delta^2 y_t = \delta +u_t\;,$$

rekursiv aufgelöst erhält man

$$y_t = y_0 + \delta t+(u_1+u_2+\ldots+u_t)\;.$$

Falls $\delta = 0$ dann heißt der Prozess driftless I(1) Prozess.

Falls $\delta \not= 0$ dann heißt der Prozess I(1) Prozess mit drift.

Beispiel Irrfahrt

Die eindimensionale Irrfahrt ist ein Spezialfall des AR(1) wo $a_1 = 1$. Mit Lag-Polynom ergibt sich folgende Schreibweise

$$y_t = a_1y_{t-1}-\varepsilon_t\iff a(L)y_t = \varepsilon_t\;.$$

Bemerke, dass das Lag-Polynom $1-a_1L$ eine Nullstelle bei $1$ hat. Das heißt, dass $1-a_1z =0$ für $z = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$ gilt. Daher ist die eindimensionale Irrfahrt ein Einheitswurzel Prozess.

Zusammengefasst ist also AR(1) mit $|a_1|<1$ Stationär und für $a_1 = 1$ Differenzen-Stationär.