Histogram-Filter

Einfache Sprache

Heißt nur Histogram-Filter wenn es auf stetige Räume angewendet wird. Bei diskreten Räumen spricht man von diskrete Bayers-Filter. Es sind Nichtparametrischer-Filter die auf dem Bayes-Filter basiert.

Def. Histogram-Filter

Diskrete Bayers-Filter

Algorithmus

Der Algorithmus für den Diskrete Bayers-Filter ist abgeleitet vom Bayes-Filter, wobei das Integral durch eine Summe ersetzt wird.

\begin{algorithm}
\caption{Bayesscher Filter}
\begin{algorithmic}
\Input Belief $\{p_{k,t-1}\}$, Aktion $u_t$, Wahrnehmung $z_t$
\Procedure{bayers-filter}{$\{p_{k,t-1}\},u_t,z_t$}
	\ForAll{$k$}
		\State $\bar p_{k,t} \gets \sum_{i} p(X_t = x_k \mid u_t,X_{t-1} = x_i)p_{i,t-1}$
		\State $p_{k,t} \gets \eta p(z_t\mid X_t = x_t)\bar p_{k,t}$
    \EndFor
\return $\{p_{k,t-1}\}$
\EndProcedure
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

Hier sind $x_i$ und $x_k$ die einzelnen Zustände. Der Belief zu jedem Zeitpunkt $t$ ordnet jedem Zustand $x_k$ eine Wahrscheinlichkeit $p_{k,t}$. Der Belief ist also eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung $\{p_{k,t}\}$.

Eine konkrete Implementierung für den Bayesschen Filter kann wie folgt aussehen:

	\begin{algorithm}
	\caption{Bayesscher Filter}
	\begin{algorithmic}
	\Input Aktueller Believe Bel$(x)$, neue Beobachtung oder Aktion $d$
	\Procedure{bayesscher-filter}{Bel$(x)$, $d$}
	\State integer $\eta = 0$
	\If{$d$ ist eine Beobachtung $z$}
		\ForAll{$x$}
			\State Bel'$(x) = P(z|x)\text{Bel}(x)$
			\State $\eta = \eta  + \text{Bel'}(x)$
        \EndFor
        \ForAll{x}
	        \State Bel'$(x) = \eta^{-1}\text{Bel'}(x)$
        \EndFor
    \Elif{$d$ ist eine Aktion $u$}
	    \ForAll{x}
		    \State Bel'$(x) = \sum P(x|u,x')\text{Bel}(x')$
        \EndFor
    \EndIf
    \EndProcedure
	\end{algorithmic}
	\end{algorithm}

Historgram-Filter