Irrfahrt
Def. Irrfahrt
Seien $\{\varepsilon\}$ Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in $\mathbb R^d$ und $y_0\in\mathbb R^d$ ein deterministischer Startwert. Dann ist
$$y_t = y_0 + \sum^t_{i = 1}\varepsilon_i$$eine Irrfahrt in $\mathbb R^d$ bzw. eine $d$-dimensionale Irrfahrt. In rekursiver Schreibweise ist das eine Irrfahrt
$$y_t-y_{t-1} = = \Delta y_t = \varepsilon_t\;.$$
Eindimensionale Irrfahrt
Die eindimensionale Irrfahrt ist ein Spezialfall des AR(1) wo $a_1 = 1$. Also
$$y_t = y_{t-1}+\varepsilon_t$$mit $\varepsilon\sim$ [Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|idd]$.
Erwartungswert
Der bedingte Erwartungswert der Eindimensionale Irrfahrt ist gegeben durch
$$\text E[y_{t+1} |y_{t}] = y_{t} + \text E[\varepsilon_{t+1} |y_{t}] = y_{t}\;.$$Der Erwartungswert für $s$-Perioden in der Zukunft
$$\text E[y_{t+s} |y_{t}] = \text E[y_{t+s-1} |y_{t}] + \text E[\varepsilon_{t+s} |y_{t}] = y_{t}\;.$$erhält man durch rekursives Einsetzen.
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