Satz von Bayes
Def. Satz von Bayes
Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse mit $P(B) > 0$. Dann gilt
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}\;.$$
Beweis
$$\begin{align}P(A|B) &=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}&\Huge|\normalsize\text{Siehe Tip}\\&=\frac{\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\cdot P(A)}{P(B)}&\Huge|\normalsize\text{Erweitern}\\&=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}&\Huge|\normalsize\text{Siehe Tip}\\\end{align}$$Tip
Der Wahrscheinlichkeitsbaum
$$P(A|B)\cdot P(B) = P(A\cap B)\;.$$zeigt folgende Gleichung
Normalisierte Satz von Bayes
Dann $P(B)$ nicht von $A$ abhängig ist, kann $P(B)$ wiederverwendet werden für verschiedene $A$. Dafür berechnen wir zuerst den Normalisierungsfaktor $\eta = P(B)^{-1}$. Daraus ergibt sich dann der Normalisierte Satz von Bayes als
$$P(A|B)=\eta \cdot P(B|A)\cdot P(A)\;.$$Einfach gesagt stellt der Normalisierungsfaktor sicher das alle Wahrscheinlichkeit aufsummiert $1$ ergeben.