Methode der kleinsten Quadrate

Einfache Sprache

Def. Methode der kleinsten Quadrate

Aufbau

In Vektor-Schreibweise

$$y_i = \mathfrak x_i \mathfrak b + u_i\;,$$

wobei

$i = 1,\ldots,N$ die Anzahl der Beobachtungen,
$j = 1,\ldots,K$ die Anzahl der beobachteten erklärenden Variablen,
$\mathfrak x_i = \left( \begin{array}{ccc} x_{1,i}& \ldots & x_{K,i} \end{array} \right)$ ist der Vektor der Erklärenden Variablen,
$x_{j,i}$ ist die $i$-te Beobachtung der $j$-ten Variable,
$y_i$ ist der Wert der erklärten Variable der $i$-ten Beobachtung,
$u_i$ ist der unbeobachtete Rauschterm der $i$-ten Beobachtung und
$\mathfrak b = \left( \begin{array}{ccc} b_1& \ldots & b_K \end{array} \right)'$ ist der Vektor mit den Modellparametern ist.

In Matrix-Schreibweise ist das Modell

$$\mathfrak Y = \mathfrak X\mathfrak b+ \mathfrak u$$

wobei

$\mathfrak Y= \left( \begin{array}{ccc} y_1& \ldots & y_N \end{array} \right)'$ der $(N\times 1)$ Matrix der erklärten Variable,
$\mathfrak X= \left( \begin{array}{ccc} \mathfrak x_1'& \ldots & \mathfrak x_N' \end{array} \right)'$ ist die $(N\times K)$ Matrix der erklärenden Variablen und
$\mathfrak U = \left( \begin{array}{ccc} u_1& \ldots & u_N \end{array} \right)'$ der $(N\times 1)$ Matrix der unbeobachteten Rauschterme.

Der durch die Methode der kleinsten Quadrate erhaltende Werte für die Koeffizienten $\mathfrak b$ ergeben sich wie folgt

$$\hat{\mathfrak b} = (\mathfrak X'\mathfrak X)^{-1}\mathfrak X'\mathfrak Y$$

Home: