Satz von Donsker

Einfache Sprache

Der Satz von Donsker ist eine funktionale Erweiterung des Zentraler Grenzwertsatz. Der Satz besagt ganz einfach das die Summe von Weißes Rauschen in der Verteilung und bei hoher Summantenzahl zu einem Wienerprozess konvergiert.

Def. Satz von Donsker

Sei $\{\varepsilon_t\}_{t=1}^{t=T}$ Weißes Rauschen. Sei $\lfloor\cdot\rfloor$ die Abrundungsfunktion. Wir definieren die Funktion $W$ wie folgt

$$W^T(t)= \frac{1}{\sigma\sqrt T}\sum_{i=1}^{\lfloor Tt\rfloor}\varepsilon_i\;,$$

wobei $t\in[0,1]$. Für $\lfloor Tt\rfloor = 0$ gilt $W^T(t) = 0$. Für $T\to\infty$ konvergiert (Schwache Konvergenz) $W^T(t)$ schwach zu dem Wienerprozess $W_t$

Nach dem Satz von der stetigen Abbildung konvergieren (Schwache Konvergenz) alle stetigen (Stetige Funktion) Abbildungen $f$ von $W^T(t)$ schwach zu $f(W_t)$.