Trend-Stationär
Einfache Sprache
Ein Zeitreihenprozess ist Trend-Stationär, wenn eine Trend entfernt werden kann und ein stationärer Prozess übrig bleibt. Der Trend ist dabei eine Funktion (Trendfunktion) ist, die den Trendwert für jede Periode gibt. Die
Def. Trend-Stationär
Der Zeitreihenprozess $\{y\}$ ist Trend-Stationär wenn er die folgende Struktur hat
$$y_t = f(t) + u_t$$wobei $t$ die Periode, $f$ die Funktion ist die Trendfunktion und $\{u\}$ ein Stationärer Zeitreihenprozess.
Linear Trend-Stationär
Wenn in jeder Periode $y_t$ um einen konstanten Wert $a$ inkrementiert wird handelt es sich um einen deterministischen linearen Trend. Der wie folgt definiert ist
$$y_t = at + u_t\;.$$Stochastischer Trend ohne Drift
Wenn in jeder Periode $t$ die Variable $y_t$ um einen zufälligen Wert $\varepsilon_t$ inkrementiert wird handelt es sich um einen stochastischen Trend ohne Drift. Dieser wie folgt definiert ist
$$y_t = \sum_{i=1}^t \varepsilon_i + u_t\;.$$Also die Summe aller Trendwerte bis jetzt. Dabei sind $\varepsilon_t$ Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null und der Varianz $\sigma^2$, also $\varepsilon_t \sim \textrm{idd}(0,\sigma^2)$. Die rekursive Form ist
$$y_t = y_{t-1} +\varepsilon_t + u_t\iff \Delta y_t =\varepsilon_t + u_t\;,$$wobei $\Delta$ der Differenzenoperator Hier wird offensichtlich das der Stochastischer Trend ohne Drift eine Irrfahrt ist. Nach
$$E(y_t)= \sum_{i=1}^t E(\varepsilon_i) + E(u_t) = 0\;.$$folgt, dass der Erwartungswert Null ist. Die Varianz ergibt sich wie folgt
$$\begin{align}\textrm{Var}(y_t) &= \textrm{Var}\left(\sum_{i=1}^t \varepsilon_i\right)+ \textrm{Var}(u_t)\\&= \textrm{E}\left(\left(\sum_{i=1}^t \varepsilon_i\right)^2\right)+\sigma_u^2\\&= \textrm{E}\left(\sum_{i=1}^t \varepsilon_i^2+ \underset{i\not=j}{\sum_{j=1}^t\sum_{i=1}^t} \varepsilon_i\varepsilon_j\right)+\sigma_u^2\\&= \sum_{i=1}^t \textrm{E}(\varepsilon_i^2)+\sigma_u^2\\&= t\sigma^2+\sigma_u^2\\\end{align}$$Der Stochastischer Trend ohne Drift ist also nicht-stationär, da die Varianz sich verändert.
Stochastischer Trend mit Drift
Wenn in jeder Periode $t$ die Variable $y_t$ um einen zufälligen Wert $\varepsilon_t$ und einen festen Wert $a$ inkrementiert wird handelt es sich um einen stochastischen Trend mit Drift. Dieser wie folgt definiert ist
$$y_t =\sum_{i=1}^t (a+\varepsilon_i) + u_t= at + \sum_{i=1}^t \varepsilon_i + u_t\;.$$Also die Summe aller Trendwerte bis jetzt. Dabei sind $\varepsilon_t$ Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null und der Varianz $\sigma^2$, also $\varepsilon_t \sim \textrm{idd}(0,\sigma^2)$. Die rekursive Form ist
$$y_t = y_{t-1} +a +\varepsilon_t + u_t\iff \Delta y_t =a+ \varepsilon_t + u_t\;.$$Nach
$$E(y_t)= E(at) + \sum_{i=1}^t E(\varepsilon_i) + E(u_t) = at\;.$$folgt, dass der Erwartungswert den Drift darstellt ist. Die Varianz ergibt sich wie folgt
$$\begin{align}\textrm{Var}(y_t) &= \textrm{Var}\left(\sum_{i=1}^t (a+\varepsilon_i)\right)+ \textrm{Var}(u_t)\\&= \textrm{E}\left(\left(\sum_{i=1}^t (a+\varepsilon_i)-at\right)^2\right)+\sigma_u^2\\&= \textrm{E}\left(\left(\sum_{i=1}^t \varepsilon_i\right)^2\right)+\sigma_u^2\\&= \textrm{E}\left(\sum_{i=1}^t \varepsilon_i^2+ \underset{i\not=j}{\sum_{j=1}^t\sum_{i=1}^t} \varepsilon_i\varepsilon_j\right)+\sigma_u^2\\&= \sum_{i=1}^t \textrm{E}(\varepsilon_i^2)+\sigma_u^2\\&= t\sigma^2+\sigma_u^2\\\end{align}$$Der Stochastischer Trend mit Drift ist also nicht-stationär, da der Erwartungswert und die Varianz sich verändert.