Tschebyscheff-Ungleichung

Tschebyscheffsche Ungleichung

Einfache Sprache

Mit der Gleichung kann man für beliebige Verteilung eine Aussage darüber treffen wie viele Werte im Intervall ($k$ Standardabweichungen) mindestens liegen.

Def. Tschebyscheffsche Ungleichung

Sei $\mu=E[X],\;\sigma^2=var(X)$, d.g.

$$P(|Z|\geq k)\leq\frac{1}{k^2}\;,$$

mit $Z=(X-\mu)/\sigma$. $k$ is hier die Anzahl der Standardabweichungen.

Beispiel Normalverteilung

Wir wissen das $95\%$ der Werte liegen maximal $2$ Standardabweichungen vom Mittel. Die tschebyscheffsche Ungleichung gibt uns für diesen Fall $75\%$ da $k=2$ und somit $1/2^2$.