Hamilton-Funktion
Einfache Sprache
Die Hamilton-Funktion transformiert ein dynamisches in ein statisches Problem
Beispiel Konsumentenproblem
Gegeben das Konsumentenproblem
$$\max_{\{t\}^T_{ŧ=0}}\int^T_0u(c(t))e^{-\rho t}\,dt\;,$$die Nebenbedingung (der Bewegungsgleichung)
$$\dot k(t) = y(t) + rk(t) - c(t)$$die Startbedingung, welche den
$$k(0) = k_0$$und die Endebedingungen, die den Wert der Zustands am Ende (kann konkreter Wert $T$ oder $\infty$ sein) definieren, z.B. zum Zeitpunkt $T$ ist der Zustand aufgebraucht
$$k(T)\lambda(T)e^{-\rho T} = 0\;.$$Die Start- und Nebenbedingung wird meist transversality condition (TVC) genannt.
Die Hamilton-Funktion setzt sich dann so zusammen
$$H(t)= u(c(t))+\lambda(t)\big(y(t) + rk(t) - c(t)\big);.$$Die lösenden Bedingung ist dann:
- $H(t)$ abgeleitet und gleich Null gesetzt für alle Steuerungs Variablen $\implies$ Das stellt Sicher das zu jedem Zeitpunkt, die optimale Entscheidung getroffen wird bezüglich der Steuerung
- Für alle Zustands Variablen müssen abgeleitet werden un gleich $-\dot\lambda(t)+\rho\lambda(t)$ gesetzt werden. In unserem Beispiel wäre das $r\lambda(t) = -\dot\lambda(t)+\rho\lambda(t)$ $\implies$ Das stellt Sicher das zu jedem Zeitpunkt die optimale Menge der Zustands Variable für die Zukunft aufbewahrt wird.
- Start- und Endbedingung