Lemma Existenz und Eindeutigkeit des Vorgängers

Einfache Sprache

Def. Lemma Existenz und Eindeutigkeit des Vorgängers

Jede von $0$ verschiedene natürlichen Zahlen $n$ ist Nachfolger einer eindeutig bestimmten anderen natürlichen Zahl. Diese wird auch als Vorgänger von $n$ bezeichnet.

Beweis: Sei $n\in\mathbb N$ mit $n\not= 0$. Wir zeigen zunächst das $n$ Nachfolger einer natürlichen Zahl $m\in\mathbb N$ st. Sei $M':= \{\mathfrak s(m)\mid m\in\mathbb N\}$. Außerdem sei $M:= M'\cup\{0\}$. $\left[\mathrm{Z\kern-.5em\raise-0.6ex\hbox{Z}}\; n\in M'\right]$

1. Nach dem zweiten Peano-Axiome (P2) folgt aus $m\in M$ auch $\mathfrak s(m)\in M$.
2. Aus (P5) folgt das $M=\mathbb N$.
3. Aus (P3) folgt das $M' = \mathbb N \setminus\{0\}$.
4. Somit folgt $n\in M'$. Die Eindeutigkeit folgt aus (P4).