Peano-Axiome

Einfache Sprache

Die Peano-Axiome definieren die natürlichen Zahlen durch 5 Axiome (Axiom).

Def. Peano-Axiome

1. $0$ ist eine natürliche Zahl: $0\in\mathbb N$
2. Jede natürliche Zahl $n$ besitzt eine eindeutige natürliche Zahle $\mathfrak s(n)$ als Nachfolger: $\forall n\in \mathbb N. \exists m\in\mathbb N. m=\mathfrak s(n)$
3. 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl: $\not\exists n \in\mathbb N. 0=\mathfrak s(n)$
4. Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger: $\forall m,n\in\mathbb N. n\not=m\implies \mathfrak s(n)\not=\mathfrak s(m)$
5. Induktionsaxiom: Ist $M\subseteq \mathfrak N$ mit $0\in M$ und der Eigenschaft, dass aus $n\in M$ auch $\mathfrak s(n)\in M$ folgt, so muss $M=\mathbb N$ gelten: $\left(\forall M\subseteq \mathbb N. 0\in M\land\forall n\in\mathbb N. n\in M\implies \mathfrak s(n)\in M\right)\implies M=\mathbb N$

Daraus folgt direkt das Lemma Existenz und Eindeutigkeit des Vorgängers.