Martingal-Folge

Einfache Sprache

Ein Stochastischer Prozess ist eine Martingal-Folge wenn der Erwartungswert, bedingt der vergangenen Werte, gleich dem letztem Wert ist. Also das letzte Element Einfluss auf die Zukunft hat.

Def. Martingal-Folge

Ein Stochastischer Prozess $\{y_t\}$ ist eine Martingal-Folge, wenn

$$\text E [y_t|y_{t-1},y_{t-2},\ldots] = y_{t-1}\;.$$

Weißes Rauschen

Sei $z_t = z_{t-1}+u_t$ ein Weißes Rauschen, wobei $\text{Cov}(u_t,u_s) = 0$ für all $t \not= s$. Dann ist das Weißes Rauschen $z_t$ eine Martingal-Folge da

$$\begin{align} \text E [z_t|z_{t-1},z_{t-2},\ldots] &= \text E [z_{t-1}|z_{t-1},z_{t-2},\ldots] - \text E[u_t|z_{t-1},z_{t-2},\ldots] &\Huge|\normalsize\text{Def. $z_t$}\\&= z_{t-1} - 0 &\Huge|\normalsize\text{Eig. E und $u_t$}\\&= z_{t-1} &\Huge|\normalsize\text{Eig. $0$}\end{align}$$