Breusch-Godfrey-Test
Einfache Sprache
Beim Breusch-Godfrey-Test wird getestet ob eine Autokorrelation der Ordnung $r$ in den Rauschtermen vorliegt.
Aufbau
Modellierung
Wir gehen z.B. vom Modell $y_t = \mathfrak x_t\mathfrak b+u_t$ aus. Für den Breusch-Godfrey-Test nehmen wir nun an das der Rauschterm wie folgt definiert ist
$$u_t = \rho_1u_{t-1}+\ldots+\rho_ru_{t-r}+ \varepsilon_t$$wobei $\varepsilon_t\sim$ idd und $r$ die Anzahl der lagss auf die getestet wird.
Hypothesen
| $H_0$ | Es liegt keine Autokorrelation erster Ordnung (AR(1)) vor. Also $\rho_1=\ldots=\rho_r=0$. |
|---|---|
| $H_1$ | Es gibt mindestens ein Autokorrelation einer Ordnung $i$ (AR($i$)) mit vor. Also $\exists i \rho_i\not=0$. |
Teststatistik
Es seien $T$ Beobachtungen gegeben.
Die Teststatistik $LM$ ist gegeben durch
$$LM:= T\frac{\tilde{\mathfrak e} ' \mathfrak P_{\mathfrak Z}\tilde{\mathfrak e} }{\tilde{\mathfrak e} '\tilde{\mathfrak e} } = TR^2\;.$$Wobei
- $\tilde{\mathfrak e} = \mathfrak Y - \mathfrak X\hat{\mathfrak b}$ die Rauschterme sind unter der Annahme das $H_0$ gilt,
- $\mathfrak Z = \left( \begin{array}{cccc}\mathfrak X & \tilde{\varepsilon}_{-1}& \ldots & \tilde{\varepsilon}_{-r} \end{array} \right)$ die Verkettung von erklärenden Variablen und den #TODO was? und
- $\mathfrak P_{\mathfrak Z} = \mathfrak Z(\mathfrak Z'\mathfrak Z)^{-1}\mathfrak Z'$ ist. Dabei ist $\mathfrak Y$ und $\mathfrak X$ in MKQ definiert.
Testentscheidung
Unter der Annahme $H_0$ folgt die Teststatistik der Chi-Quadrat-Verteilung. Also $LM \overset{d}\longrightarrow \chi^2_r$.
Ablauf
- Schätze das Modell unter der Annahme $H_0$ und errechne daraus die Rauschterme $\hat u_t = \hat \varepsilon_t$. Also $\hat\varepsilon_t$ ist der Fehler des Modells das gerade geschätzt wurde.
- Die Hilfs-Regression $\hat u_t =\mathfrak x_t\hat{\mathfrak b} + \rho_1u_{t-1}+\ldots+\rho_ru_{t-r}+ \varepsilon_t$ schätzen. Da für das errechnen von $\hat u_1$ man Lags braucht die gar nicht existieren,z.B. für $\hat u_-1$, wird dann einfach 0 benutzt.
- Berechne die Teststatistik als $LM = TR^2$ aus der Hilfs-Regression.
- Vergleiche Teststatistik mit dem kritischen Wert der Chi-Quadrat-Verteilung.