Dickey-Fuller-Test
Einfache Sprache
Mit dem Dickey-Fuller-Test kann getestet werden ob ein Stochastischer Prozess ein Einheitswurzel Prozess ist.
Welchen DF-Test benutzen?
Es gibt 3 DF-Tests.
DF-Test ohne Konstante ohne Trend
Modellierung
Es wird als Modell angenommen
$$y_t = \rho y_{t-1}+\varepsilon_t\;.$$Hypothesen
| $H_0$ | $y_t$ ist ein Einheitswurzel Prozess. ($\rho=1$) |
|---|---|
| $H_1$ | $y_t$ ist ein stationärer (Stationär) AR(1) (Autoregressives Modell) Prozess. ($\rho<1$) |
Wir haben hier also für $\rho = 1$ eine Irrfahrt ohne Drift zutun und für $\rho<1$ mit einem AR(1) der zero mean stationär ist.
Teststatistik
Es gibt zwei Teststatistiken $\text{DF-}\rho$ und $\text{DF-}t$.
Die $\text{DF-}\rho$ Statistik ist $T$-mal die Differenz zwischen dem geschätzten Parameter $\hat\rho$ von $1$. Also
$$\text{DF-}\rho:= T(\hat\rho-1) = T\frac{\sum_{t=1}^T\Delta y_ty_{t-1}}{\sum^T_{t=1}y^2_{t-1}}\;,$$Die $\text{DF-}t$ Statistik ist die Differenz zwischen dem geschätzten Parameter $\hat\rho$ von $1$ geteilt durch den Standardfehler von $\hat\rho$. Also
$$\text{DF-}t:=\frac{\hat\rho-1}{\text{SE}(\hat\rho)} = \frac{\hat\rho-1}{\hat\sigma\left(\sum^T_{t=1}y^2_{t-1}\right)^{-\frac{1}{2}}}\;,$$Testentscheidung
Falls $\text{DF-}\rho<$ Kritischer Wert der $\text{DF-}\rho$ Statistik, dann verwerfe $H_0$.
Falls $\text{DF-}t<$ Kritischer Wert der $\text{DF-}t$ Statistik, dann verwerfe $H_0$.
DF-Test mit Konstante ohne Trend
Modellierung
Es als Modell angenommen
$$y_t = \mu + s_t,$$wobei
$$s_t = \rho s_{t-1}+\varepsilon_t\;.$$Hypothesen
| $H_0$ | $y_t$ ist ein Einheitswurzel Prozess. ($\rho=1$) |
|---|---|
| $H_1$ | $y_t$ ist ein stationärer (Stationär) AR(1) (Autoregressives Modell) Prozess. ($\rho<1$) |
| Unter $H_0$ vereinfacht sich das Modell zu $$y_t= \mu+ \sum_{t=1}^T \varepsilon_t\;.$$ Wir haben hier also eine Irrfahrt ohne Drift. | |
| Unter $H_1$ vereinfacht sich das Modell zu $$\begin{align}y_t&= \mu+\rho s_{t-1}+\varepsilon_t \\&= \mu+\rho (y_{t-1}-\mu)+\varepsilon_t \\&= (1-\rho)\mu+\rho y_{t-1}+\varepsilon_t \end{align}$$Wir haben also ein [[Autoregressives Modell | AR(1)]] mit Konstante. |
Teststatistik
Es gibt zwei Teststatistiken $\text{DF-}\rho$ und $\text{DF-}t$. Hier wird jedoch $\hat\rho^\mu$ berechnet. Das $\mu$ stellt dar, dass hier auch die Konstante Beachtung findet. Es gilt
$$\hat\rho^\mu = \frac{\sum_{t=1}^T(y_t-\bar y)(y_{t-1}-\bar y_{-1})}{\sum_{t=1}^T(y_{t-1}-\bar y_{-1})^2}\;,$$wobei $\bar y_{-1}$ der Mittelwert der Lagged Werte ist.
Die $\text{DF-}\rho^\mu$ Statistik ist $T$-mal die Differenz zwischen dem geschätzten Parameter $\hat\rho^\mu$ von $1$. Also
$$\text{DF-}\rho^\mu:=T(\hat\rho^\mu-1) = \;,$$Die $\text{DF-}t^\mu$ Statistik ist die Differenz zwischen dem geschätzten Parameter $\hat\rho^\mu$ von $1$ geteilt durch den Standardfehler von $\hat\rho^\mu$. Also
$$\text{DF-}t^\mu:=\frac{\hat\rho^\mu-1}{\text{SE}(\hat\rho^\mu)}\;,$$Testentscheidung
Falls $\text{DF-}\rho^\mu<$ Kritischer Wert der $\text{DF-}\rho^\mu$ Statistik, dann verwerfe $H_0$.
Falls $\text{DF-}t<$ Kritischer Wert der $\text{DF-}t^\mu$ Statistik, dann verwerfe $H_0$.
DF-Test mit Konstante mit Trend
Modellierung
Es wird ein als Modell angenommen
$$y_t = \mu + at+ s_t,$$wobei
$$s_t = \rho s_{t-1}+\varepsilon_t\;.$$Hypothesen
| $H_0$ | $y_t$ ist ein Einheitswurzel Prozess. ($\rho=1$) |
|---|---|
| $H_1$ | $y_t$ ist ein stationärer (Stationär) AR(1) (Autoregressives Modell) Prozess. ($\rho<1$) |
| Unter $H_0$ vereinfacht sich das Modell zu $$y_t= \mu+at+ \sum_{t=1}^T \varepsilon_t= \mu+\sum_{t=1}^T (a+\varepsilon_t)\;.$$ Wir haben also eine Irrfahrt mit Drift. |
Unter $H_1$ vereinfacht sich das Modell zu
$$\begin{align}y_t&= \mu+at+\rho s_{t-1}+\varepsilon_t \\&= \mu+at+\rho (y_{t-1}-\mu-a(t-1))+\varepsilon_t \\&= (1-\rho)\mu+ a\rho+a(1-\rho)t+\rho y_{t-1}+\varepsilon_t \\&= \alpha_0+\alpha_1t+\rho y_{t-1}+\varepsilon_t \end{align},$$wobei $\alpha_0 = (1-\rho)\mu+a\rho$ und $\alpha_1 = a(1-\rho)$. Wir haben also ein AR(1) mit stationär und Trend.
Teststatistik
Es gibt zwei Teststatistiken $\text{DF-}\rho^\tau$ und $\text{DF-}t^\tau$. Hier wird jedoch $\hat\rho^\tau$ berechnet. Das $^\tau$ stellt dar, dass hier die Konstante und der Trend Beachtung findet. Es gilt
$$\hat\rho^\tau = \frac{\sum_{t=1}^T \tilde y_t \tilde y_{t-1}}{\sum_{t=1}^T\tilde y_{t-1}^2}\;,$$wobei $\tilde y_{-1}$ enttrendet ist.
Die $\text{DF-}\rho^\tau$ Statistik ist $T$-mal die Differenz zwischen dem geschätzten Parameter $\hat\rho^\tau$ von $1$. Also
$$\text{DF-}\rho^\tau:=T(\hat\rho^\tau-1) \;,$$Die $\text{DF-}t^\mu$ Statistik ist die Differenz zwischen dem geschätzten Parameter $\hat\rho^\tau$ von $1$ geteilt durch den Standardfehler von $\hat\rho^\tau$. Also
$$\text{DF-}t^\tau:=\frac{\hat\rho^\tau-1}{\text{SE}(\hat\rho^\tau)}\;,$$Testentscheidung
Falls $\text{DF-}\rho^\tau<$ Kritischer Wert der $\text{DF-}\rho^\tau$ Statistik, dann verwerfe $H_0$.
Falls $\text{DF-}t^tau<$ Kritischer Wert der $\text{DF-}t^\tau$ Statistik, dann verwerfe $H_0$.
Probleme
Da meist die idd Annahme nicht haltbar ist sollte dann ein erweiterte Dickey-Fuller-Test oder ein Phillips–Perron-Test durchgeführt werden.