Differenzenoperator

Def. Differenzenoperator

Der Differenzenoperator $\Delta$ ist als

$$\Delta = 1- L$$

definiert, wobei $L$ der Lag-Operator ist. Die $n$-te Differenz erhält man wie folgt

$$\Delta^n = (1-L)^n\;.$$

Beispiel

Sei $\{y\}$ eine Zeitreihenprozess. Dann ergibt sich die erste Differenz mit der Differenzenoperator wie folgt

$$\Delta y_t = (1-L)y_t = y_t- y_{t-1}\;.$$

Die zweite Differenz ist

$$\begin{align}\Delta^2 y_t &= (1-L)^2y_t\\&= (1-L-L+L^2)y_t\\& = ((1-L)-(L-L^2))y_t\\& = ((1-L)y_t-(L-L^2))y_t\\& = (y_t- y_{t-1})-(y_{t-1}- y_{t-2}) \;.\end{align}$$