Fehlerkorrekturmodell

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Def. Fehlerkorrekturmodell

Aufbau

Das Fehlerkorrekturmodell ist ein Modell, was die selben Variablen wie das ADL-Modell benutzt aber die Parameter anders wählt. Es ist folgender Maßen aufgebaut

wobei

• $\Delta = 1-L$ die Differenz zwischen der aktuellen und vorherigen Periode (z.B. $\Delta y_t = (1-L)y_t=y_t-Ly_t = y_t-y_{t-1}$),
• $\alpha = a(1)$ die Summe aller $p$ Koeffizienten des Lag-Polynoms,
• $\beta = \frac{b(1)}{a(1)}$ so gewählt das nach dem Auflösen der Klammer die Summe aller $q$ Koeffizienten des Lag-Polynoms übrig bleiben,
• $\bar a_i = -\sum_{k = i+1}^p a_i\quad\forall\; 1\leq i\leq p-1$ die negative Summe alle vorherigen $y$ Koeffizienten
• $\bar b_0 = b_0$ und
• $\bar b_i = -\sum_{k = i+1}^q b_i\quad\forall\; 1\leq i\leq q-1$ die negative Summe alle vorherigen $x$ Koeffizienten ist.

Beispiel ADL -> ECM

Als Beispiel wird hier ein ADL-Modell mit $p=q=2$ in ein ECM umgestellt:

$$\begin{align} y_t =& \mu + a_1 y_{t-1} + a_2 y_{t-2} + b_0 x_t + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Def. ADL(2,2)}\\y_t =& \mu + a_1 y_{t-1} + y_{t-1} - y_{t-1} + a_2 y_{t-2} + b_0 x_t + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Erweitern}\\y_t - y_{t-1} =& \mu + a_1 y_{t-1} - y_{t-1} + a_2 y_{t-2} + b_0 x_t + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Umstellen}\\\Delta y_t =& \mu + a_1 y_{t-1} - y_{t-1} + a_2 y_{t-2} + b_0 x_t + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Def. $\Delta$ }\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 -1) y_{t-1}+ a_2 y_{t-2} + b_0 x_t + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Ausklammern}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 -1) y_{t-1}+a_2 y_{t-1} - a_2 y_{t-1} + a_2 y_{t-2} + b_0 x_t + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Erweitern}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 + a_2 -1) y_{t-1}-a_2(y_{t-1} - y_{t-2}) + b_0 x_t + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Ausklammern}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 + a_2 -1) y_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 x_t + b_1 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Def- $\Delta$}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 + a_2 -1) y_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 x_t+ b_1 x_{t-1} +b_2 x_{t-1} - b_2 x_{t-1} + b_2 x_{t-2} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Erweitern}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 + a_2 -1) y_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 x_t+ (b_1 +b_2) x_{t-1} - b_2 (x_{t-1} - x_{t-2}) + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Ausklammern}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 + a_2 -1) y_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 x_t+ (b_1 +b_2) x_{t-1} - b_2 \Delta x_{t-1} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Def. $\Delta$}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 + a_2 -1) y_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 x_t - b_0 x_{t-1} + b_0 x_{t-1} + (b_1 +b_2) x_{t-1} - b_2 \Delta x_{t-1} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Erweitern}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 + a_2 -1) y_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 (x_t - x_{t-1}) + (b_0 + b_1 +b_2) x_{t-1} - b_2 \Delta x_{t-1} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Ausklammern}\\\Delta y_t =& \mu + (a_1 + a_2 -1) y_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 \Delta x_t + (b_0 + b_1 +b_2) x_{t-1} - b_2 \Delta x_{t-1} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Def. $\Delta$}\\\Delta y_t =& \mu - (1-a_1 - a_2 ) y_{t-1}+ (b_0 + b_1 +b_2) x_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 \Delta x_t - b_2 \Delta x_{t-1} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Umstellen}\\\Delta y_t =& \mu - a(1) y_{t-1}+ b(1) x_{t-1}-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 \Delta x_t - b_2 \Delta x_{t-1} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Def. Lag-Polynom}\\\Delta y_t =& \mu - a(1) \left(y_{t-1}- \frac{b(1)}{a(1)} x_{t-1}\right)-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 \Delta x_t - b_2 \Delta x_{t-1} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Ausklammern}\\\Delta y_t =& \mu -\alpha \left(y_{t-1}- \beta x_{t-1}\right)-a_2\Delta y_{t-1} + b_0 \Delta x_t - b_2 \Delta x_{t-1} + \varepsilon_t&\Huge|\normalsize\text{Def. $\alpha =a(1)$ und $\beta =\frac{b(1)}{a(1)}$}\\\end{align}$$

Annahmen

• $\alpha = a(1) > 0$ wird vorausgesetzt damit der Fehlerkorrektur in die richtige Richtung geht -> siehe Funktionsweise für mehr.

Funktionsweise

Der Fehlerkorrektur-Mechanismus funktioniert wie folgt $y_{t-1}>\beta x_{t-1} \implies - \alpha (y_{t-1}-\beta x_{t-1}) <0\implies \Delta y_t \text{ vergößert sich }\implies \text{Lücke wird verkleiner}$ und $y_{t-1}<\beta x_{t-1} \implies - \alpha (y_{t-1}-\beta x_{t-1}) >0\implies \Delta y_t \text{ verringert sich }\implies \text{Lücke wird verkleiner}$ Bemerke: das $\alpha = 0$ impliziert das es kein stabiles Gleichgewicht gibt. Aber gilt $a(1) > 0$? Ja denn z.B. für das AR(1) wissen wir das für $p = 1$ gibt, dass es nur stationär ist, wenn $-1stationär ist, es also ein Gleichgewicht gibt, dann auch der Fehlerkorrektur-Mechanismus des ECM dorthin korrigiert. Das kann auch für AR(p) mit $p>1$ generalisiert werden.

Schätzung

Für eine Schätzung stellen wir das ECM wie folgt um

wobei $\gamma_1 = -\alpha$ und $\gamma_2 = \alpha\beta$. Das Modell kann nun mit MKQ geschätzt werden. Die Koeffizienten ergeben sich dann als

Die asymtotische Varianz kann dann mit der Delta-Methode berechnet werden.