Integrierter Prozess
Einfache Sprache
Eine Stochastischer Prozess ist Integriert der Ordnung $d$ falls er nach $d$-fachem Differenzieren ein stationärer Prozess mit endlicher langzeit Varianz. I($1$) wird auch Einheitswurzel Prozess genannt.
I(0)
Def. Integrierter Prozess I($0$)
Ein Stochastischer Prozess $\{y_t\}$ ist ein Integrierter Prozess der Ordnung $0$ (I($0$)), wenn er stationär ist und eine positive endliche langzeit Varianz hat. Er kann also als
$$y_t = \delta+u_t\;,$$wobei $\{u_t\}$ mit Mittelwert 0 stationär ist und eine positive endliche langzeit Varianz hat
Gemeine lineare I(0)
Ein gemeine lineare Einheitswurzel Prozess der Ordnung $0$ oder kurz linearer (I(0)) ist als
$$y_t = a + u_t$$definiert, wobei $a$ eine Konstante und $u_t$ ein linearer I(0) mit Mittelwert Null ist. Also
$$u_t = \psi_0\varepsilon_t+\psi_1\varepsilon_{t-1}+\psi_2\varepsilon_{t-2}+\ldots = \psi(L)\varepsilon_t\;,$$wobei $\psi(L)$ ein Lag-Polynom und $\varepsilon\sim$idd$(0,\sigma^2)$ ist. Beachte, dass folgende Annahmen erfüllt seien müssen
- $\sum_{i=0}^\infty |\psi_i|<\infty$ und
- $\psi(1) = \psi_0+\psi_1+\ldots \not=0$.
I(1)
Siehe Einheitswurzel Prozess
I(d)
Def. Integrierter Prozess I($d$)
Ein Stochastischer Prozess $\{y_t\}$ ist ein Integrierter Prozess der Ordnung $d$ (I($d$)), wenn die $d$-te Differenz $\Delta^dy_t$ I(0) ist.