Vektorautoregressives Modell

Einfache Sprache

Das Vektorautoregressives Modell (VAR(p)) ist das mehrdimensionale Pendant zum AR-Modell. Man hat also mehrere Variablen die von eigenen Lags und von Lags der anderen Variablen abhängen. Dabei ist p die Anzahl der Lags.

Def. VAR-Modell

In Matrix-Schreibweise ist ein VAR(p)-Modell wie folgt definiert

$$\mathfrak x_t = \mathfrak m+\sum_{i = 1}^p \mathfrak A_i\mathfrak x_{t-i} + \sum_{i = 1}^n\mathfrak b_i z_t^{(i)} + \mathfrak e_t\;,$$

wobei

• $\mathfrak x_t$ der Vektor der erklärten Variablen in Periode $t$,
• $\mathfrak m$ der Vektor der zeitunabhängigen Konstanten für die einzelnen erklärten Variablen,
• $p$ die Anzahl an Verzögerungen die das Modell beachtet,
• $\mathfrak A_i$ die Matrix von Koeffizienten für die Verzögerung von $i$ Perioden,
• $z_t^{(i)}$ die erklärende Variable $z^{(i)}$ in Periode $t$ und
• $\mathfrak b_i$ der Vektor der Koeffizienten für die erklärenden Variable $z^{(i)}$.

Beispiel VAR(2)

Gegeben zwei erklärte Zeitreihen $x_t^{(1)}$ und $x_t^{(2)}$, und zwei erklärende $z_t^{(1)}$ und $z_t^{(2)}$. Das Modell ist definiert durch folgende Gleichungen

$$\begin{align}x_t^{(1)} &= m_1+ a_{111} x_{t-1}^{(1)}+a_{112}x_{t-1}^{(2)}+a_{211} x_{t-2}^{(1)}+a_{212}x_{t-2}^{(2)}+b_{11}z_t^{(1)}+b_{12}z_t^{(2)} + \varepsilon_t^{(1)}\\x_t^{(2)} &= m_2+ a_{121} x_{t-1}^{(1)}+a_{122}x_{t-1}^{(2)}+ a_{221} x_{t-2}^{(1)}+a_{222}x_{t-2}^{(2)}+b_{21}z_t^{(1)}+b_{22}z_t^{(2)} + \varepsilon_t^{(2)}\end{align}$$

oder in Matrix-Schreibweise durch

$$\begin{align}\mathfrak x_t =& \mathfrak m+\mathfrak A_1\mathfrak x_{t-1}+\mathfrak A_2\mathfrak x_{t-2} + \mathfrak b_1 z_t^{(1)} + \mathfrak b_2 z_t^{(2)} + \mathfrak e_t\\=& \mathfrak m+\sum_{i = 0}^2 \mathfrak A_i\mathfrak x_{t-i} + \sum_{i = 1}^2\mathfrak b_i z_t^{(i)} + \mathfrak e_t\\\end{align}$$

wobei

• $\mathfrak x_t = \left( \begin{array}{c} x_t^{(1)}\\x_t^{(2)}\end{array} \right)$,
• $\mathfrak m = \left( \begin{array}{c} m_1\\m_2\end{array} \right)$,
• $\mathfrak A_i = \left( \begin{array}{cc} a_{i11}& a_{i12} \\ a_{i21}& a_{i22}\end{array} \right)$
• $\mathfrak b_i = \left(\begin{array}{c}b_{1i}\\ b_{2i}\end{array} \right)$
• $\mathfrak e_t = \left(\begin{array}{c}\varepsilon_t^{(1)}\\ \varepsilon_t^{(2)}\end{array} \right)$ ist.