Fundamentale Bewegungsgleichung des Solow-Modells
Einfache Sprache
Die Fundamentale Bewegungsgleichung des Solow-Modells sagt wie sich die Kapitalintensität verändert.
Def. Fundamentale Bewegungsgleichung
Die Veränderung der Kapitalintensität ist gegeben durch
$$\dot k_t = sf(k_t) - (n+\delta)k_t\;.$$Positiv wirkt sich der Teil des Pro-Kopf-Einkommens ($sf(k_t)$) welcher gespart wird. Negativ wirkt sich die Abnutzung ($\delta$) und das Bevölkerungswachstum ($n$) aus.
Herleitung
Tip
Wegen den Konstante Skalenerträge von $F$ folgt
$$\begin{aligned}Y= F(K,L)\iff&\frac{Y}{L}=\frac{1}{L}F(K,L)\\\iff&y=F(K/L,L/L)\\\iff&y=F(k,1)\\\iff&y=f(k)\end{aligned}$$wobei $k$ die Kapitalintensität und $y$ der Produktionsertrag pro Arbeitseinheit.
In pro-Kopf Einheiten erhalten wir durch das Teilen der Grundformel des Solow-Modell > Aufbau durch die gesamte geleistete Arbeit $L$ folgendes
$$\frac{\dot K}{L} =s\frac{F(K,L)}{L} - \delta \frac{K}{L}\;.$$Wegen den Konstante Skalenerträge von $F$ folgt
$$\frac{\dot K}{L} =sf(k) - \delta k\;.$$Als nächstes nehmen nehmen wir $\dot k$ und formen es so um, dass es $\frac{\dot K}{L}$ enthält und stellen es danach um. Beachte das $\frac{\dot L}{L}=n$.
$$\dot k = \frac{\partial\frac{K}{L}}{\partial t} = \frac{\dot KL-K\dot L}{L^2} = \frac{\dot K}{L}-\frac{K\dot L}{L^2} = \frac{\dot K}{L} - \frac{K}{L}n = \frac{\dot K}{L} - kn\iff \frac{\dot K}{L} = \dot k + kn$$Zusammen ergibt das nun
$$\dot k + kn = sf(k)-\delta k \iff \dot k = sf(k)-(\delta+n)k $$was die Fundamentale Bewegungsgleichung des Solow-Modells ist.