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Theorie realer Konjunkturzyklen

Einfache Sprache

Die Theorie realer Konjunkturzyklen besagt das Konjunktur durch technologische Schock verursacht werden. Methodisch wird ein diskretes Standard-neoklassisches Wachstumsmodell mit stochastischen Schocks und der Möglichkeit nicht zu arbeiten ergänzt. Quintessenz des Modells ist, dass Konjunkturzyklen die optimale Antwort auf unbeeinflussbare (Exogene) Schocks sind. Daher sind Eingriffe (policy), schlecht weil sie die Volkswirtschaft von dem Optimum abbringen. Das widerspricht dem Keynesianismus.

Variablen

Symbol Bedeutung Formel
$k(t)$ Kapitalintensität in Periode $t$
$i(t)$ Investment in Periode $t$
$h(t)$ Freizeit in Periode $t$ $h(t) = 1 - l(t)$
$l(t)$ Arbeitszeit in Periode $t$ $l(t) = 1 - h(t)$
$w(t)$ Lohn in Periode $t$
$c(t)$ pro Kopf Konsum in Periode $t$
$z(t)$ Produktivitäts Parameter
$\rho$ Rate der Zeitpräferenz (Ungeduld)
$f(\cdot)$ neoklassische Produktionsfunktion $f(k(t) , l(t) , z(t)) = z(t) k(t)^\alpha l(t)^{1−\alpha}$
$\phi$
$\varepsilon(t)$ Schock in Periode $t$ Folgt einer Normalverteilung
$R(t)$ Zinssatz des Kapitals in Periode $t$
$\delta$ Abschreibungsquote
$r(t)$ reale Zinssatz des Kapitals in Periode $t$ $r(t)= R(t)-\delta$

Annahmen

Aufbau

Problemstellung

Das Modell ist gegeben durch das Konsumentenproblem

$$\max E\left[\sum_t \beta^t(1-\phi)u(c(t))+\phi v(h(t))\right]\;,$$

der Budgetbedingung

$$c(t)+i(t) = w(t)l(t) + R(t)k(t)\;,$$

die Kapital-Akkumulation-Gleichung

$$k(t+1) = (1-\delta)k(t)+i(t)\;,$$

der Produktionsfunktion

$$f(k(t) , l(t) , z(t)) = z(t) k(t)^\alpha l(t)^{1−\alpha}\;,$$

dem Arbeit-Freizeit-Verhältnis

$$h(t)+l(t) = 1$$

und dem Prozess der die produktivitäts Schocks

$$z(t+1) = \varphi z(t)+\varepsilon(t+1)\;.$$

Lösung

Das Modell wird in drei Stufen gelöst. Das heißt zuerst das Haushaltsproblem (die Konsumentscheidung), dann das Firmenproblem (wie viel wird produziert) und dann die zufälligen Schocks. Alles zusammen ergibt dann das RBC Modell.

Haushaltsproblem

Wir beginnen indem wir die Kapital-Akkumulation-Gleichung nach Investment umstellen $i(t) = k(t+1) - (1-\delta)k(t)$ und in die Budgetbedingung einsetzen

$$c(t)+k(t+1) = w(t)l(t) +(1+R(t)-\delta)k(t)\;.$$

Bemerke das wir $1+r(t)=1+R(t)-\delta$, da der reale Zinssatz des Kapitals gleich dem Zinssatz des Kapitals minus der Abschreibungsquote ist. Desweiteren können wir $l(t)$ durch $1-h(t)$ ersetzen und erhalten

$$c(t)+k(t+1) = w(t)(1-h(t)) +(1+r(t))k(t)\;.$$

Damit können wir nun das Lagrange Optimierungsverfahren anwenden. Wir formulieren die Lagrange Funktion wie folgt

$$L(t) = E\left[\sum_i \beta^i(1-\phi)u(c(t+i))+\phi v(h(t+i)+\lambda(t+i)\Huge(\normalsize w(t+i)(1-h(t+i)) +(1+r(t+i))k(t+i)- c(t+i)-k(t+1+i)\Huge)\right]\;.$$

Es ergeben sich Folgende FOCs

$$\begin{align}\frac{\partial L(t)}{\partial c(t)} &= (1-\phi)u'(c(t))-\lambda(t) = 0&\implies\lambda(t)=(1-\phi)u'(c(t))\\ \frac{\partial L(t)}{\partial h(t)} &= \phi v'(h(t))-\lambda(t)w(t) = 0&\implies\lambda(t)w(t)=\phi v'(h(t))\\ \frac{\partial L(t)}{\partial k(t+1)} &= -\lambda(t)+\beta E[\lambda(t+1)(1+r(t+1))] = 0&\implies\lambda(t)=\beta E[\lambda(t+1)(1+r(t+1))]\end{align}$$

Um die Euler-Gleichung zu erhalten iterieren zunächst die erste FOC eine Periode in die Zukunft und erhalten

$$\lambda(t+1)=(1-\phi)u'(c(t+1))\;.$$

Das fügen wir nun in die dritte FOC ein und erhalten

$$\lambda(t)=\beta E\left[(1-\phi)u'(c(t+1))(1+r(t+1))\right]\;.$$

Dazu ersetzen wir auch $\lambda(t)$ mit der ersten FOC und erhalten

$$(1-\phi)u'(c(t)) = \beta E\left[(1-\phi)u'(c(t+1))(1+r(t+1))\right]$$

was wir durch Teilen mit $(1-\phi)$ zu

$$u'(c(t)) = \beta E\left[u'(c(t+1))(1+r(t+1))\right]$$

vereinfachen können. Das ist die Euler-Gleichung. Sie bestimmt wie viel konsumiert bzw. gespart wird.

Weiter nehmen wir die erste FOC, setzen sie in die zweite FOC ($\lambda(t)$) und erhalten

$$\phi v'(h(t)) = (1-\phi)u'(c(t))w(t)\;.$$

Die Gleichung bestimmt wie viel Freizeit bzw. Arbeit optimal ist. Wir können diese nun nach $u'(c(t))$ umstellen

$$u'(c(t))=\frac{\phi v'(h(t))}{(1-\phi)w(t)}$$

um sie in die Euler-Gleichung einzusetzen

$$\frac{\phi v'(h(t))}{(1-\phi)w(t)} = \beta E\left[\frac{\phi v'(h(t+1))}{(1-\phi)w(t+1)}(1+r(t+1))\right]\;.$$

Jetzt ignorieren wir die Unsicherheit (also $E$) und stellen die Gleichung um zu

$$\frac{v'(h(t))}{v'(h(t+1))} = \frac{v'(1-l(t))}{v'(1-l(t+1))} = \beta(1+r(t+1))\frac{w(t)}{w(t+1)}\;.$$

Da wir log-utility Annehmen, also $u(c(t))=log(c(t))$ bzw. $v(h(t))=log(h(t))$ gilt $u'(c(t)=1/c(t)$ bzw. $h'(c(t)=1/h(t)$. Also können wir die Gleichung wie folgt schreiben

$$\frac{\frac{1}{h(t)}}{\frac{1}{h(t+1))}} = \frac{\frac{1}{1-l(t)}}{\frac{1}{1-l(t+1))}} = \beta(1+r(t+1))\frac{w(t)}{w(t+1)}\;.$$

was equivalent zu

$$\frac{h(t+1)}{h(t))} = \frac{1-l(t+1)}{1-l(t))} = \beta(1+r(t+1))\frac{w(t)}{w(t+1)}\;.$$

Die Interpretation ist, dass eine Lohnsteigerung das Arbeitsangebot erhöht und eine Zinssteigerung auch das Arbeitsangebot erhöht.

Firmenproblem

Die Produktionsfunktion ist gegeben durch $f(k(t) , l(t) , z(t)) = z(t) k(t)^\alpha l(t)^{1−\alpha}$. Wir nehmen Vollständige Konkurrenz an. Die Firme maximieren ihren Profit, in dem sie

$$\max_{k(t),l(t)} P(t) = z(t) k(t)^\alpha l(t)^{1−\alpha} - w(t)l(t)-r(t)k(t)\;.$$

Dazu leiten wir $P(t)$ ab und erhalten folgender FOCs

$$\begin{align}\frac{\partial P(t)}{\partial k(t)} &= \alpha z(t) k(t)^{\alpha-1} l(t)^{1−\alpha} -r(t) = 0&\implies\alpha\frac{y(t)}{k(t)}=r(t)\\ \frac{\partial P(t)}{\partial l(t)} &= (\alpha-1) z(t) k(t)^\alpha l(t)^{−\alpha} -w(t) = 0&\implies(1-\alpha)\frac{y(t)}{l(t)}=w(t)\end{align}$$

Schockprozess

Die Produktivität folgt einem Autoregressives Modell erster Stufe

$$z(t) = \varphi z(t-1) + \varepsilon(t) \;.$$

Daraus folgt direkt eine erste Beobachtung: Fluktuationen in der aggregierten Volkswirtschaft sind die effiziente Antwort auf die einzige Quelle von Unsicherheit, den Exogenen Technologie-Schocks $\varepsilon(t)$.

Gleichungen des RBC-Modells

Alle Optimalitätsgleichungen zusammen ergeben dann das RBC-Modell: Haushaltsproblem

  1. $u'(c(t)) = \beta E\left[u'(c(t+1))(1+r(t+1))\right]$
  2. $\phi v'(h(t)) = (1-\phi)u'(c(t))w(t)$
  3. $k(t+1) = (1-\delta)k(t)+i(t)$ market clearing
  4. $y(t) = c(t)+i(t)$ Firmenproblem
  5. $y(t) = z(t) k(t)^\alpha l(t)^{1−\alpha}$
  6. $\alpha\frac{y(t)}{k(t)}=r(t)$
  7. $(1-\alpha)\frac{y(t)}{l(t)}=w(t)$
  8. $z(t) = \varphi z(t-1) + \varepsilon(t)$ Wir haben 8 Endogene Variablen: $c,l,r,w,k,i,y,z$. Die einzige Exogen Variable sind die Schocks $\varepsilon$.

Kalibrierung

Da es keine einfache Lösungen für die Gleichungen des RBC-Modells gibt, muss eine Lösung linear Approximiert werden. Das kann folgender Maßen aussehen

  1. Das Equilibrium bestimmen ohne Unsicherheit.
  2. Eine lineare Approximation um das Equilibrium errechnen.
  3. Einen Approximationsalgorithmus einsetzen um das lineare rationale Erwartung Modell nummerisch zu lösen. Z.B. mit Blanchard-Kahn-Methode. Beim Kalibrieren werden dann die Parameter ($\beta,\phi,\delta,\alpha,\varphi$) des Models mit empirisch abgeleiteten Werten belegt.

Anwendung

Wie propagierte sich ein Schock durch die Wirtschaft?

Als Kalibrierung des Modells werden Werte von Prescott (1986) genommen. Wir gehen von einem positiven ProduktivitätsSchock aus, also $\varepsilon(t) > 0$. Daraus lassen sich folgendes logisch Schlussfolgern:

  1. Der Output $y(t)$ steigt, da die Volkswirtschaft produktiver ist.
  2. Die Löhne und der Zinssatz steigen, da Produktionsfaktoren das Grenzprodukt, welches wegen der Produktivitätssteigerung gestiegen ist, bekommen.
  3. Höhere Löhne bedeuten das mehr Arbeit von dem Haushalt angeboten wird. Hier ist die Elastizität des Arbeitsangebots wichtig, da es als Verstärker diese Effekts dient.
  4. Wegen des Konsum glätten wird nicht die ganze Lohnsteigerung konsumiert sondern in die zukünftige Perioden verschoben durch Sparen. Das erhöht die Kapitalintensität.
  5. Sobald der Schock vorbei ist wird das überschüssige Kapital abgebaut durch erhöhten Konsum und Freizeit. Das Sinken des realen Zinssatz signalisiert dies den Haushalten.

Die Elastizität des Arbeitsangebots ist wichtig, da nur wenn sie hoch ist, große Fluktuationen entstehen. Eine hohe Elastizität des Arbeitsangebots impliziert, dass Individuen sehr schnell auf Lohnänderungen reagieren, was sich nicht empirisch zeigt.

Kritik

Zusammenfassung

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