AK-Modell
Einfache Sprache
Ähnlich dem Solow-Modell aber es wird angenommen, dass das Kapital Konstante Skalenerträge. Daraus ergibt sich das da Modell immer pro-Kopf konstant wächst.
Variablen
Variablen
| Symbol | Bedeutung | Formel |
|---|---|---|
| $U$ | Nutzen des repräsentativen Haushalts | |
| $n$ | Bevölkerungswachstum | |
| $\rho$ | Rate der Zeitpräferenz (Ungeduld) | |
| $c$ | pro-Kopf Konsum | |
| $y$ | pro-Kopf Einkommen/Output | |
| $k$ | Kapitalintensität | |
| $f(\cdot)$ | neoklassische Produktionsfunktion | |
| $A$ | technologische Entwicklung (Produktivitätszuwachs) |
Wobei $\sigma$ die Elastizität der inter-temporalen Substitution des Konsums ist.
Annahmen
- Die Produktionsfunktion $f(k) = Ak$ hat Konstante Skalenerträge bzgl. $k$.
Aufbau
Die Nutzenfunktion ist
$$U = \int^\infty_0 \left(\frac{\sigma}{\sigma -1}\right)c(t)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}e^{-\rho t}\,dt\;.$$Die Produktionsfunktion ist gegeben durch
$$Y(t) = Ak(t)$$mit $A>0$. Da der Haushalt das Kapital besitzt und es zur Produktion verwendet ergibt sich folgender Bedingung
$$\dot k(t) = Ak(t)-c(t)\,.$$Lösung
Def. mit Hamilton-Funktion
Es wird $U$ maximiert unter der Bedingung $\dot k(t) = Ak(t)-c(t)$ für ein gegebenes Startkapital $k(0)$. Es ergibt sich folgende Hamilton-Funktion
$$H = \left(\frac{\sigma}{\sigma -1}\right)c(t)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+\lambda(t)\left(Ak(t)-c(t)\right)\;.$$Bemerke das der Konsum $c$ die Steuerung, Kapitalintensität $k$ ist der Zustand und $\lambda$ der Co-Zustand. Daraus ergeben sich folgende FOCs
- $\frac{\partial H}{\partial c(t)} = c(t)^{-\frac{1}{\sigma}}-\lambda(t) = 0\;,$
- $\dot\lambda(t) = -\frac{\partial H}{\partial k(t)} +\rho\lambda(t) = -A\lambda(t)+\rho\lambda(t)$ und
- $\lim_{t\to\infty}(k(t)\lambda(t)e^{-\rho t}) = 0$. Letztere ist die transversality condition.
Lösung mit Hamilton-Funktion
Zuerst nehmen wir die erste FOC und leiten sie nach $t$ ab. $$\begin{align}&c(t)^{-\frac{1}{\sigma}}-\lambda(t) = 0\\implies& -\frac{1}{\sigma}c(t)^{-\frac{1}{\sigma}-1}\dot c(t)-\dot\lambda(t) = 0&\Huge|\normalsize\text{Ableitung nach $t$.}\\iff&\frac{-\frac{1}{\sigma}c(t)^{-\frac{1}{\sigma}-1}\dot c(t)}{c(t)^{-\frac{1}{\sigma}}}-\frac{\dot\lambda(t)}{\lambda(t)}=0&\Huge|\normalsize\text{Teilen durch erste FOC.}\
\iff& -\frac{1}{\sigma}\frac{\dot c(t)}{c(t)} = \frac{\dot\lambda(t)}{\lambda(t)}&\Huge|\normalsize\text{Kuerzen.}\
\iff& \frac{\dot c(t)}{c(t)} = -\sigma\frac{\dot\lambda(t)}{\lambda(t)}&\Huge|\normalsize\text{Umstellen.}\
\iff& \frac{\dot c(t)}{c(t)} = -\sigma\frac{-A\lambda(t)+\rho\lambda(t)}{\lambda(t)}&\Huge|\normalsize\text{Def. zweite FOC ($\dot\lambda(t)$).}\
\iff& \frac{\dot c(t)}{c(t)} = -\sigma(A-\rho)&\Huge|\normalsize\text{Kuerzen.} \end{align}$$ Die letzte Gleichung ist die Euler-Gleichung des Systems.
Weiter Teilen wir die Nebenbedingung $\dot k(t) = Ak(t)-c(t)$ durch $k$ und erhalten eine Gleichung für das Wachstumsrate von $k$:
$$\frac{\dot k(t)}{k(t)} = A-\frac{c(t)}{k(t)}\,.$$Daraus folgt damit $\dot k(t)/k(t)$ konstant ist, muss das Verhältnis zwischen $c(t)$ und $k(t)$ konstant sein. $k$ und $c$ müssen also die gleiche Wachstumsrate haben. Also ist
$$\frac{\dot k(t)}{k(t)} = \frac{\dot c(t)}{c(t)}=\frac{\dot y(t)}{y(t)}= \sigma(A-\rho)\,.$$Um den optimalen Konsum $c(t)$ zu errechnen gehen wir wieder von $\frac{\dot k(t)}{k(t)} = A-\frac{c(t)}{k(t)}$ aus und setzen nun für $\dot k(t)/k(t)$ die Wachstumsrate ein und erhalten
$$\sigma(A-\rho) = A-\frac{c(t)}{k(t)}\;.$$Nun multiplizieren wir mit $k(t)$ und nutzen den Fakt das $y(t) = Ak(t)$ und vereinfachen wie folgt $$\begin{align} &\sigma(A-\rho) = A-\frac{c(t)}{k(t)}\
\iff& \sigma(A-\rho)k(t) = Ak(t)-c(t) &\Huge|\normalsize\text{Multi. mit $k(t)$.}\ \iff& c(t) = Ak(t) - \sigma(A-\rho)k(t)&\Huge|\normalsize\text{Umstellen.}\ \iff& c(t) = (A - \sigma(A-\rho))k(t)&\Huge|\normalsize\text{Umstellen.}\ \iff& c(t) = ((1-\sigma)A + \sigma\rho)k(t)&\Huge|\normalsize\text{Umstellen.}\ \iff& c(t) = \frac{(1-\sigma)A + \sigma\rho)}{A}Ak(t)&\Huge|\normalsize\text{Erweitern mit $A/A$.}\ \iff& c(t) = \frac{(1-\sigma)A + \sigma\rho)}{A}y(t) &\Huge|\normalsize\text{Def. $y(t)$}\
\end{align}$$ Es wird also eine konstanter Teil des Outputs jede Periode konsumiert. Ergo eine Ökonomie befindet sich immer auf dem [[balanced growth path|BGP]].
Nun muss noch die transversality condition $\lim_{t\to\infty}\left(k(t)\lambda(t)e^{-\rho t}\right) = 0$ erfüllt sein. Dafür nehmen wir die erste FOC und stellen sie nach $\lambda(t)$ um $\lambda(t) = {c(t)}^{-\frac{1}{\sigma}}$ erhallten. Zusammen ergibt sich
$$\lim_{t\to\infty}\left(k(t){c(t)}^{-\frac{1}{\sigma}}e^{-\rho t}\right) = 0\;.$$Aus den konstanten Wachstumsraten für $c(t)$ und $k(t)$ ergibt sich als Lösung der Differentialgleichungen $c(t) = c(0)e^{\sigma(A-\rho)t}$ und $k(t) = k(0)e^{\sigma(A-\rho)t}$. Beides eingesetzt in die obere transversality condition ergibt das
$$\lim_{t\to\infty}\left( k(0)e^{\sigma(A-p)t} c(0)^{-\frac{1}{\sigma}}e^{-\frac{1}{\sigma}\sigma(A-\rho)t} e^{-\rho t}\right) = 0\;,$$was nach Vereinfachung
$$\lim_{t\to\infty}\left( k(0)c(0)^{-\frac{1}{\sigma}}e^{-\theta t}\right) = 0\;$$mit $\theta \equiv (1-\sigma)A+\sigma\rho$. Also brauchen wir $\theta > 0$, damit wenn $t$ gegen Unendlich geht der wert gegen $0$ geht.
Zusammenfassung
- Es gibt keine Übergangsdynamik. Es befindet sich immer im BGP.
- Die Veränderung des Grenzertrag des Kapitals beeinflusst das Wachstum.
- Es gibt keine Konvergenz.
- Temporäre Shocks haben permanente Effekt.
- Damit es stimmt muss das Kapital exakt Konstante Skalenerträge haben. Das ist unwahrscheinlich.